Thalész tételét ma is lehet csodálni

– Pályája a Fazekas Gimnáziumban indult, az akkor induló matematikatagozatos osztályba járt, versenyzett és már gimnazistakorában bekapcsolódott a kutatásba. A világban ismer-e más modellt a tehetséggondozásra?

– Természetesen vannak a miénktől eltérő más szisztémák is. Angliában például az Oxford és Cambridge egyetemekre nehéz bekerülni, a kiválasztottaknak kemény feltételeknek kell megfelelniük, de tanulmányaik ideje alatt sok egyéni foglalkozásra számíthatnak. Magyarországon hagyományai vannak a tehetséggondozásnak, és világszerte úgy tekintenek ránk, hogy matematikából a miénk az egyike a legjobban működő rendszereknek. A tehetséggel bíró gyerekek számára kiugrási lehetőséget jelenthetnek a tanulmányi versenyek és működik a KöMaL is. A magyarországi rendszer elismertségét jelzi az is, hogy Princeton-ban, a matematikai tehetséggondozás fejlesztéséről szóló őszi konferencián a mi modellünket vették alapul és ajánlották a fejlődő országok figyelmébe. Pillanatnyilag még nem tisztázott, hogy a mi módszerünkből mi adaptálható egy-egy országra, hiszen a kultúrák közötti kis eltérés nagyban befolyásolhatja azt, hogy a gyakorlatban milyen eredménnyel működik valami.

– Ön szerint, ahogy a művészetek élvezetére, úgy a matematikáéra is meg lehet tanítani valakit?

– Azt hiszem, valamennyire igen, persze van, akit a zene élvezetére sem lehet megtanítani. A matematika szépségét és gondolkodásmódját sokkal több fiatallal meg lehet szerettetni, mint amennyiből zenész lesz. De ez minden esetben a tanárokon múlik és ez a matematikára is igaz: a jó pedagógus tudja, érzi, hogy a gyerekeket hol, mivel lehet megfogni. Persze minél nagyobb, heterogénebb egy osztály, annál nehezebb ezt megvalósítani. Azt hiszem, sok jól felkészült oktató kell ahhoz, hogy a tehetséggondozás hatékonyan működjön. Hazatérésem előtt nekem is voltak tanítványaim külföldön, most itthon élek, de ma sincs ez másképp.

– Felesége is matematikus. Ez mennyire határozta meg gyermekei pályaválasztását? Tudatosan nem próbálta őket távol tartani a matematikától?

– Nem könnyű a szülőkkel azonos pályán érvényesülni, éppen ezért sem próbáltuk őket ebbe az irányba orientálni. Az egyik lányom irodalmár, a másik kettő közgazdász. A fiam még gimnazista, ahogy a többiek is, maga dönt majd arról, hogy milyen hivatást választ. Az azonban biztos, hogy mindegyikük tehetséges.

– Gimnazistaként milyen jövőt álmodott magának? Csalódott?

– Alapvetően talán nem, de középiskolásként sok mindent egészen máshogy képzeltem. Azóta ahogy a világ, úgy a matematika is nagyot változott. Egy azonban változatlanul él bennem: a matematika művelésének élvezete megmaradt. Negyven év azonban nem múlik el nyomtalanul. Fiatalon az ember hall egy problémát, elkezd rajta gondolkozni, de úgy véli, nem az ő dolga, hogy beillessze a nagy képbe. Egy idő után azonban úgy érezheti, hogy az is az ő feladata, miként az is, hogy a kérdéseket megválogassa. És az is az ő felelőssége, hogy milyen problémákat ajánl a tanítványainak. Néha nosztalgiával gondolok vissza arra az időszakra, amikor a matematikai probléma „csak úgy jött”. Ha érdekesnek találtam, akkor elkezdtem rajta töprengeni. Talán ma már egy kicsit többet gondolok arra, valójában mi az értelme egy problémának, vajon mi a hatása. A spontaneitás mára sajnos elveszett.

– Erdős Pál személye mennyire határozta meg a magyar matematikusok hozzáállását?

– Az ő nagysága abban állt, hogy nyílt matematizálást propagált és vezetett be, ami különösen abban az időben, itt a vasfüggöny mögött, hatalmas jelentőséggel bírt. Az utazásai során megismert problémákat, eredményeket megosztotta a matematikusokkal, nem tartotta meg magának. A diákok csapatban dolgoztak. Ahelyett, hogy csak egy-két szerényebb eredményt könyvelhettek volna el, a teammunkának köszönhetően komoly sikereket érhettek el – ez volt Erdős Pál módszerének a titka. Ezt a szemléletet terjesztette Magyarországon és a világ nagy részében is, és ebben hiszek én is.

– Vagyis a matematika csapatmunka?

– Egyetemi éveim alatt a matematika területén inkább az egy szerző által publikált tanulmányok voltak jellemzőek. Manapság sokkal gyakoribb a többszerzős cikk, mert a hasonló gondolkodású és érdeklődésű emberek nem okvetlenül dolgoznak egy helyen. De internetes kapcsolattal, utazással áthidalhatóak a távolságból fakadó nehézségek. A másik ok azt hiszem az, hogy a matematika területén új eredményt nagyon gyakran csak úgy lehet elérni, hogy olyan emberek dolgoznak együtt, akiknek a tudása nem ugyanazt a területet fedi le, tehát sokkal szélesebb spektrumból meríthetnek. Megalapozhatja a sikert, ha ugyanaz a kérdés érdekli őket, de a felhasznált háttér más.

– Nyert diákolimpiai aranyérmeket a gimnáziumban, az egyetemen Schweitzer-versenyeket, megkapta a Wolf-díjat és a Bolyai-díjat. Mit jelentenek önnek a különböző díjak és versenyeredmények?

– A díjaknak az ember örül és fontosak, mert mindenki hiú és szereti, ha elismerik, amit csinál. Fiatalabb korban ez különösen sokat jelent, mert akkor még az embernek azt is fel kell mérnie, mi az, amit célul tűzzön magának. Akár a pályaválasztásban is számít, hogy középiskolai versenyen milyen eredményt ért el valaki. Minden díjnak szélesebb hatása vagy szélesebb mondanivalója is van. A Wolf-díj, ami akkoriban talán az egyik legmagasabb matematikai díj volt, azt is jelentette, hogy az én területem, a gráfelmélet, a diszkrét matematika az egész matematika szempontjából fontos. Ugyanis miközben ezzel a problémával Magyarországon fiatal koromban sok vezető matematikus is foglalkozott, a világban ez nem volt elismert terület. Sok helyen kérdezték, miért nem foglalkozom valami komolyabbal. A Bolyai-díj pedig azt jelentette számomra, hogy az itthoni tudományos élet szereplői elismernek és elfogadnak.

– A Microsoftnál töltött időszak mennyiben különbözött a mostanitól?

– Kiváltságos helyzetben voltam, azt kutattam, amit akartam, nem voltak előírt projektek, amelyekben részt kellett volna vennem. Kis közösség volt, kiemelkedő tehetségű matematikusokból, és szerencsére jó hangulatú hely volt, ami mögött ott állt egy élvonalbeli nagyvállalat. Másokkal beszélgetve rengeteg új problémával találkozott az ember – például a nagy hálózatokkal kapcsolatban. Látta a gondokat, tendenciákat, ami inspirációt adott a matematikai kutatásoknak, anélkül, hogy előírták volna, mivel kell foglalkoznom. Ezeket az éveket nagyon élveztem. Kizárólag csak a kutatásra koncentrálhattam.

– Mégis visszatért az egyetemi életbe.

– Tudatos döntés volt, haza akartunk költözni. Úgy gondoltam, itt az ideje, hogy ne csak a kutatás, hanem az oktatás területén is tegyek valamit. Egy kicsit adósnak éreztem magam.

– Épp a felsőoktatási reform idején. A bolognai rendszer a tömegképzés felé mutat, talán ezért is meglepő, hogy mégis elvállalta az ELTE Matematikai Intézetének igazgatói posztját. Mit gondol, hogyan tudja elérni, hogy a tehetséges diákok kutatóképzése eredményes legyen?

– Másfél esztendővel ezelőtt talán ez az ellentmondás is szerepet játszott abban, hogy elvállaltam e posztot. Ha nem is értem el mindazt, amit szeretnék, most már látok néhány célt, amelyet el kellene és el is lehet érni. A bolognai rendszer gyengeségeinek ellensúlyozásaként az alaptárgyakat több szinten tanítjuk, ugyanazt az anyagot dolgozzuk fel, de mélységében eltérő módon. A szintek között a hallgatók választhatnak, és úgy tűnik, így a kutató matematikus jelöltek is megfelelő szinten sajátíthatják el a hivatásukhoz szükséges ismereteket. Akik három év után végeznek, BSC diplomával a kezükben a munkájukhoz elengedhetetlen ismeretekkel távoznak. A bolognai rendszernek persze vannak veszélyei, sokat gondolkodtunk, hogyan védhetnék ki az ebből fakadó kockázatokat. Örülök, hogy részt vettem az új szisztéma kidolgozásában, mert fontosnak vélem. 

– Egy a Wolf-díj idejében készült interjúban mondja: „igazából sehol nem akadtam el”. Pályájának egyenletes íve van, folyamatosan jöttek az eredmények?

– Azt hiszem, mindenkinek, így nekem is vannak termékenyebb és kevésbé eredményes éveim. A kisebb teljesítménynek különböző okai lehetnek, voltak évek, amikor a feszült munkahelyi légkör, a veszekedés, a vita volt a gátja az eredményeimnek. A rendszerváltás körül az emberek, így én is sokat foglalkoztam a politikával –, akkor kevesebb energiám maradt arra, hogy kutassak. A kutatásnak egyébként is vannak veszélyei. Előfordul, hogy egy korábban izgalmasnak vélt téma szép lassan kifullad és kiderül, nem is annyira lélegzetelállító, mint amilyennek kinézett. De megesik ennek az ellenkezője is.

– Foglalkozott valaha mélyebben a Millennium Problemsből (ld. Fogalomtár) valamelyikkel?

– Valamennyire igen. A P egyenlő NP probléma akkoriban született, amikor még nagyon fiatal matematikus voltam. Emlékszem, //Gács Péter// barátommal – aki most a Bostoni Universityn tanít – sokat diszkutáltuk, hogyan lehetne megfogni azt, hogy vannak könnyebb és nehezebb problémák. Azután ő egy évre Moszkvába ment, én Amerikába, és amikor visszajöttünk, egymás szavába vágva kezdtük el mondani ugyanazt. Mint kiderült, egymástól függetlenül Moszkvában Levin, Amerikában pedig Cook és Karp kidolgozták azt az elméletet, ami a P egyenlő NP kérdéshez vezetett. Mi is elkezdtünk tűnődni rajta, hiszen friss kérdés volt, nem lehetett tudni, hogy reménytelenül nehéz-e, vagy csak egy jó löket kell hozzá. Volt két hét, amikor azt hittük, be is tudjuk bizonyítani, de persze annyira nem volt egyszerű. Azt nem mondanám, hogy mostanában gondolkoztam rajta, de mindenképpen a nagyon izgalmas problémák között tartom számon.

– Hatvanadik születésnapja alkalmából konferenciát szerveznek Building Bridges címen. A különböző területek összekapcsolásával érte el legnagyobb eredményeit?

– Ezek voltak azok a kérdések, amelyek a legjobban izgattak. Az igazi kutatási témáim, a gráfelmélet és a diszkrét matematika új keletű tudomány. Nem nagyon léteztek módszerek, amelyekkel egy-egy problémát meg lehetett oldani. Ez persze nagyon csábító volt fiatalként, hiszen rögtön el lehetett kezdeni gondolkozni, nem igényelt több év kemény tanulást. A felmerülő problémák nem mindig oldhatók meg az ismert módszerekkel, azok a legizgalmasabb problémák, amelyekhez új eszközt kell kitalálni. Mindig az érdekelt, a kérdést hogyan lehet kapcsolatba hozni valamilyen klasszikus matematikai témával, analógiákat kerestem és a problémát megpróbáltam ezekre visszavezetni.

– Ma is lát olyan kevésbé kutatott témát, ami robbanásszerű fejlődést ígér, ugyanakkor olyan helyzetben van, mint a Gráf-elmélet volt a pályája kezdetén?

– Jelenleg nem látok ilyet, de ma nagyon gyorsan fejlődő téma a különböző közgazdasági kérdések matematikai megközelítése. Mondok egy példát: amikor elmegyek vásárolni, nem végzek kutatást, hogy mi lenne számomra az optimális választás, hanem egyszerű meggondolások alapján döntök. Annak leírása, hogy mi következik ebből a vásárlók tömegére, izgalmas terület lehet. Ehhez meg kell tanulni bizonyos közgazdaságtani, játékelméleti, bonyolultságelméleti fogalmakat.

– Mennyi inspirációt nyer más tudományterületekről? Mostanában a biológia és az internet világában megjelenő nagy gráfokat (hálózatokat) vizsgálja. Ilyenkor olyan gráfokkal foglalkozik, amelyek az alkalmazásokban előfordulnak, vagy halad a probléma saját logikája szerint?

– A lelkem mélyén elméleti matematikus vagyok; ha a probléma saját logikája valamerre elvisz, akkor legtöbbször abba az irányba megyek. De mindkettő lényeges tevékenység. Szeretek körülnézni a világban, hogy mi az, ami matematikailag érdekes, de aztán inkább azokat a kérdéseket követem, amit az fölvet.

– A számítógépek megjelenése a matematikában is újat jelentett. Ez a klasszikus eredményeket is más megvilágításba helyezi?

– A klasszikus eredmények természetesen megmaradnak. A matematikában Thalész tétele ma is olyan, amit csodálni lehet. Inkább azt mondanám, hogy bizonyos klasszikus témákat fel tud éleszteni a számítógép használata, energiát ad nekik; új szempont, hogy ha valamit ki akarok számítani, akkor azt hogyan csinálom.

– A diszkrét matematika a számítástudomány alapja. Mondana egy konkrét példát, ahol az ön eredményeit használják?

–  A 80-as évek elején egy német és egy holland kollégámmal együtt elkezdtünk könyvet írni a diszkrét optimalizálási problémákról. Írás közben fölvetődött egy bosszantó technikai részletkérdés, amin elkezdtem gondolkodni, és végül két holland matematikussal sikerült a feladatot megoldanunk. Bázisredukció algoritmusnak nevezett módszerünk nagyon fontos lett a kódoláselméleti, komputerbiztonsági területen. Ugyanezzel a módszerrel ugyanis meg lehet támadni különböző számítógépes rendszereket; ez egy föltörési mód lehet, így ez egy olyan teszt, amelynek mindig ki kell tenni az ilyen rendszereket. A módszer azóta nagy karriert futott be, nyáron rendeztek egy konferenciát Franciaországban, cikkünk megjelenésének 25. évfordulója alkalmából, úgyhogy ez az eredmény egész más irányban elágazva fejtette ki a fő hatását.

– Engedjen bepillantást a gondolkodásmódjába! A megoldások általában vizuálisan jelennek meg ön előtt, vagy egy munka közbeni hasonló lépés vezet el hozzájuk?

– A gondolkodásmódot nem lehet leszűkíteni egy típusra. Az például gyakran hasznosnak bizonyul, hogy először elkezdek papíron gondolkozni. Rajzokat készítek, formulákat írogatok, amíg sikerül részben megérteni, részben leegyszerűsíteni annyira a kérdést, hogy már ne kelljen papír. És akkor az ember séta közben vagy fotelban ülve már fejben is tud gondolkozni. Ilyenkor jönnek a legjobb ötletek. Úgy látom, szükség van arra, hogy az ember először megismerkedjen a problémával, papírt, esetleg számítógépet használva próbálkozzon, és csak ezt követően kezdjen róla fejben gondolkozni.

– Más tevékenységet lehet végezni közben?

– Sőt, általában jót tesz egy problémának, ha az ember egy-két napig, néha egy évig nem gondolkozik rajta. Azt szoktam erre mondani, hogy a matematikai gondolkodásnak, de valószínűleg minden tudományos gondolkodásnak az egyik fő eleme a tévutak felismerése. Ha az ember egy problémát megold, és közben tízféleképpen próbálkozott, akkor egy út sikeres, a másik kilenc tévút. Néha az embernek vannak kedvenc tévútjai, amiket nem szívesen ad föl, mert tetszik neki a gondolat. Ebben az esetben jót tesz, ha félreteszi a problémát egy évre vagy fél évre. Ha akkor újra megnézi, általában rájön: hát ez nem is működhetett úgy.

Mezei Márk

Névjegy

Lovász László 1948-ban született Budapesten. Felesége Vesztergombi Katalin matematikus, négy gyermekük és két unokájuk van.

A Fazekas Gimnázium első matematikatagozatos osztályába járt, a középiskola alatt a Nemzetközi Diákolimpiákon egy ezüst- és három aranyérmet nyert. 1971-ben végzett az ELTE matematikus szakán, egyetemi hallgatóként védte meg kandidátusi disszertációját. Fő kutatási területe a diszkrét matematika és algoritmuselmélet.

1979-től az MTA levelező tagja, 1985-től rendes tag. A JATE és ELTE után 1993-tól a Yale Egyetemen oktat és kutat, 1999-től a Microsoft Research Center kutatója, innen tér haza 2006-ban és lesz az ELTE Matematikai Intézetének igazgatója. A Nemzetközi Matematikai Unió elnöke (2007–2010).

Munkássága során mintegy 300 tudományos dolgozatot, valamint 9 tankönyvet és monográfiát írt. 1981-ben a Best Information Theory Paper Award (IEEE) díjat vehette át, 1999-ben megkapta a Wolf-díjat. 2007-ben Bolyai-díjjal tüntették ki. Számos eredménye közül kiemelkedik a gyenge perfekt gráf sejtés igazolása és a Shannon-féle ötszögprobléma megoldása. Nevéhez fűződik a Lovász-féle lokális lemma és a bázisredukciós algoritmus.